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Theses Year : 2015

Qualitative methods for heterogeneous media

Méthodes qualitative pour les milieux hétérogènes

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Abstract

This thesis focuses on non destructive testing of concrete using ultrasonic waves, and thus examines imaging in complex heterogeneous media. We assume that measurements are multistatic, which means that we record the total field on different points by using several sources. For this type of data we wish to build methods that are able to image inclusions or defects that contributed to the measured field. We focus in this work on the extension of so called sampling methods to deal with the over-mentioned application where the main additional difficulty is the lack of knowledge of the reference media (media without defects, also referred to as background media). The first part of this thesis consists of a new theoretical analysis of the Linear Sampling Method leading to new mathematically sound formulation of this method. Such analysis is done in the framework of regularization theory, and our main contribution is to provide and analyze a regularization term that ensures exact characterization of the shape in terms of measured data. We also prove that one is able to reconstruct from regularized solutions a sequence of functions that strongly converges to the solution of the so-called interior transmission problem. This result gives a central place to the interior transmission problem as it allows describing the asymptotic behaviour of our regularized problem. More importantly it also allows us to compare solutions coming from two different datasets. Based on the result of this comparison, we manage to produce an image of the connected components of the background that contain the defects appearing between two measurement campaigns and this is regardless of background “microstructure”. This strategy is well suited for applications to concrete- like backgrounds as shown on several numerical examples with realistic concrete-like microstructures. Finally, we extend our theoretical results to the case of limited aperture, anisotropic medium and elastic waves, which correspond to the real physics of the ultrasounds.
Motivée par le contrôle non destructif par ultrasons du béton cette thèse s’intéresse à la problématique de l’imagerie à l’aide d’ondes dans des milieux hétérogènes. On se place dans un contexte de mesures multistatiques, c’est-à-dire qu’il est possible de disposer du champ total en plusieurs points de mesure excités par des sources indépendantes. Il est alors proposé de développer des méthodes pour réaliser une image de l’inclusion ou du défaut qui a contribué au champ mesuré. Plus précisément on souhaite étendre les méthodes de sampling pour traiter cette application dans le cas où on manque de connaissance sur le milieu de référence (le milieu sans défaut). La première partie de cette thèse a consisté en une nouvelle analyse théorique de la Linear Sampling Method qui a conduit à une nouvelle formulation plus rigoureuse. Cette analyse est faite dans le cadre de la théorie de la régularisation, notre principale contribution est d’avoir proposé et analysé un terme de régularisation qui assure une caractérisation exacte de la forme du défaut en fonction des données mesurées. Nous avons également démontré que l’on peut construire à partir des solutions du problème régularisé une suite de fonction qui converge fortement vers la solution du problème de transmission intérieure. Cette propriété donne un rôle central au problème de transmission intérieure dans le sens où il permet de décrire le comportement limite de notre solution régularisé. Plus encore cela permet de comparer les solutions provenant de deux campagnes de mesure différentes. Pour ce faire, une méthode permettant de construire une image de la composante connexe du milieu qui contient le défaut qui est apparu entre deux campagnes de mesure est proposée et ce indépendamment du milieu dans lequel le défaut est apparu. Cette méthode d’imagerie différentielle est particulièrement adaptée aux milieux constitués d’un ensemble d’hétérogénéités disjointes, ce qui correspond au cas du béton. Des résultats numériques illustrent son application sur un milieu constitué d’une microstructure simulant le béton. Finalement, nous montrons que nos résultats, développés dans un cadre d’ondes acoustiques en milieu isotrope avec une émission/acquisition en ouverture totale, s’étendent aux mesures en ouverture limitée, aux milieux anisotropes et aux ondes élastiques qui correspondent à la physique réelle des ultrasons.
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Dates and versions

tel-01203647 , version 1 (23-09-2015)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01203647 , version 1

Cite

Lorenzo Audibert. Qualitative methods for heterogeneous media. Analysis of PDEs [math.AP]. Ecole polytechnique X, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01203647⟩
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