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Theses

Curve-and-Surface Evolutions for Image Processing

Résumé : L'objectif de cette thèse a été d'étudier différents problèmes apparaissant naturellement en traitement d'images et mettant en jeu des hypersurfaces de l'espace euclidien à n dimensions. Débruiter une image consiste essentiellement à en lisser les lignes. Ce lissage peut apparaître soit comme le résultat d'une minimisation d'une fonctionnelle, soit comme l'application d'un flot régularisant sur les lignes de l'image. Dans ce manuscrit, nous étudions deux exemples de ces deux approches. Dans le chapitre 1, on lisse par minimisation et on s'intéresse à la régularité de la solution. Plus précisément, on travaille sur des généralisations de la minimisation proposée par Rudin, Osher et Fatemi qui pénalise la variation totale. On cherche à montrer que sous différentes hypothèses sur le domaine, les conditions d'attaches aux données ainsi que le choix de la variation totale (isotrope, anisotrope,...), la continuité de l'image observée se transmet forcément au minimiseur, ce qui montre que le débruitage par minimisation ne vas pas faire apparaître de discontinuité non observée. Dans le capitre 2, on étudie le flot par courbure moyenne (éventuellement anisotrope), qui est connu pour avoir un effet régularisant cite{alvarez93}. On y ajoute des obstacles. L'approche choisie est celle des lignes de niveau : la surface est l'image réciproque de 0 par une fonction qu'on fait évoluer. On démontre existence et unicité d'une fonction solution (de viscosité) de l'équation du mouvement par ligne de niveau et on étudie son asymptotique en temps en la comparant à un mouvement minimisant discret. Dans le chapitre 3 (travail en collaboration avec M. Novaga), on précise le résultat du chapitre 2 en étudiant le même problème mais sous forme géométrique (ce qui est nettement plus précis que l'approche ligne de niveau). On suit l'approche de Ecker et Huisken pour montrer qu'il existe une unique solution au mouvement par courbure moyenne avec obstacles en temps court. Enfin, dans le dernier chapitre (travail en collaboration avec M. Novaga et P. Pozzi), on fait un premier pas vers l'étude géométrique du mouvement anisotrope (on pourra en particulier traiter les anisotropies cristallines). Uniquement restreints à la dimension deux, on montre, en l'approchant par un mouvement lisse, l'existence d'un mouvement par courbure anisotrope d'une courbe immergée pour un temps petit.
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https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-01219407
Contributor : Gwenael Mercier <>
Submitted on : Thursday, October 22, 2015 - 4:05:26 PM
Last modification on : Wednesday, March 27, 2019 - 4:08:31 PM
Document(s) archivé(s) le : Friday, April 28, 2017 - 7:30:06 AM

Identifiers

  • HAL Id : tel-01219407, version 1

Citation

Gwenael Mercier. Curve-and-Surface Evolutions for Image Processing. Analysis of PDEs [math.AP]. École polytechnique 2015. English. ⟨tel-01219407⟩

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