Persistance et vitesse d'extinction pour des modèles de populations stochastiques multitypes en temps discret.

Résumé : Cette thèse porte sur l'étude mathématique de modèles stochastiques de dynamique de populations structurées.Dans le premier chapitre, nous introduisons un modèle stochastique à temps discret prenant en compte les diverses interactions possibles entre les individus, que ce soit de la compétition, de la migration, des mutations, ou bien de la prédation. Nous montrons d'abord un résultat de type ``loi des grands nombres'', où on montre que si la population initiale tend vers l'infini, alors sur un intervalle de temps fini, le processus stochastique converge en probabilité vers un processus déterministe sous-jacent. Nous quantifions aussi les écarts entre ces deux processus par un résultat de type ``théorème central limite''. Enfin, nous donnons un critère de persistance/extinction afin de déterminer le comportement en temps long de notre processus stochastique. Ce critère met en exergue un cas critique qui sera étudié plus en détail dans les chapitres suivants.Dans le deuxième chapitre, nous donnons un critère de croissance illimitée pour des processus vérifiant le cas critique évoqué plus haut. Nous illustrons en particulier ce critère avec l'exemple d'une métapopulation constituée de parcelles de type puits (c'est à dire dont la population s'éteint sans tenir compte de la migration), où l'on montre que la survie de la population est possible.Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons au comportement du processus critique lorsqu'il croît vers l'infini. Nous montrons en particulier une convergence en loi vers une loi gamma de notre processus renormalisé et dans un cadre plus général, en renormalisant aussi en temps, nous obtenons une convergence en loi d'une fonction de notre processus vers la solution d'une équation différentielle stochastique appelée un processus de Bessel carré.Dans le quatrième et dernier chapitre, nous nous plac{c}ons dans le cas où le processus critique ne tend pas vers l'infini et étudions le temps d'atteinte de certains ensembles compacts. Nous donnons un encadrement asymptotique de la queue de ce temps d'atteinte. Lorsque le processus s'éteint, ces résultats nous permettent en particulier d'encadrer la queue du temps d'extinction. Dans le cas où notre processus est une chaîne de Markov, nous en déduisons un critère de récurrence nulle ou récurrence positive et dans ce cas, nous obtenons un taux de convergence sous-géométrique du noyau de transition de notre chaîne vers sa mesure de probabilité invariante.
Type de document :
Thèse
Probabilités [math.PR]. Université Paris-Saclay, 2016. Français. 〈NNT : 2016SACLX019〉
Liste complète des métadonnées

https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-01476864
Contributeur : Abes Star <>
Soumis le : dimanche 26 février 2017 - 09:46:05
Dernière modification le : mercredi 25 avril 2018 - 10:45:37
Document(s) archivé(s) le : samedi 27 mai 2017 - 12:18:51

Fichier

57732_ADAM_2016_archivage.pdf
Version validée par le jury (STAR)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01476864, version 1

Collections

Citation

Etienne Adam. Persistance et vitesse d'extinction pour des modèles de populations stochastiques multitypes en temps discret.. Probabilités [math.PR]. Université Paris-Saclay, 2016. Français. 〈NNT : 2016SACLX019〉. 〈tel-01476864〉

Partager

Métriques

Consultations de la notice

375

Téléchargements de fichiers

172