Statistical estimation of a shot-noise process
Estimation statistique des éléments d'un processus shot-noise
Résumé
In this thesis, we consider the nonlinear inverse problem of γ-spectroscopy which can be described as follows. A radioactive source randomly emits photons that interact with a detector. An acquisition system then converts each interaction into a pulse of short duration whose shape is proportional to the deposited energy. The electric shape depends on the detector and the others elements of the data acquisition system. Even though the energy deposited by a photon can not be exactly the same as the initial energy carried by the photon, for instance because of the Compton scattering, the distribution of the deposited energies is intricately linked to the gamma-ray spectra of the incoming radioactive source. The purpose of gamma- spectroscopy consists in estimating as precisely as possible this spectra as well as the mean number of photons that hit the detector in one second. Because the nuclear reactions that emit photons are independent, the time and energy of the particles-detector interactions can be modelled by a marked Poisson point process where the time arrivals are modeled by an homogeneous Poisson point process on the real line with intensity λ and the marks by independent and identically distributed random variables. Then, the analogical signal recorded by the detector corresponds to the convolution between the impulse response -assumed to be known- and the abovementioned marked Poisson point process.
In this context, we aim to estimate the density of the gamma photon energies from the electric current recorded by the detector. However, the actual instrumentation techniques do not allow to estimate this density when the intensity λ exceeds some threshold. Indeed, the probability that two or more photons hit the detector in a short interval increases as soon as the intensity λ goes large, so that the electric current generated by each particle overlap. Such a phenomenon is called pileup. This overlapping precludes to construct a one-to-one correspondence between a pulse and the associated energy deposited in the detector.
We introduce in this thesis new nonparametric estimators of the intensity and the mark’s density of a shot-noise process based on a finite sample of low-frequency observations of this stochastic process. The methods developed exploit a nonlinear functional equation linking the characteristic function of the marginal law of the shot-noise with the mark’s density function. They are particularly time-efficient and perform well even for processes with high intensity. The performance of the methods are quantitatively studied and illustrations are provided both on simulated datasets and real datasets stemming from the CEA Saclay. In particular, our methods correct the multiple peak artifacts that arises with classical techniques.
Cette thèse s'intéresse à un problème de physique nucléaire : la spectrométrie Gamma. Il s’agit d’un problème inverse non-linéaire qui est décrit de la manière suivante. Des particules, généralement un faisceau de photons, interagissent avec un détecteur. Chacune des interactions est ensuite convertie par le détecteur en une impulsion électrique qui est proportionnelle à l’énergie déposée par le photon correspondant. La forme de l’impulsion électrique dépend du détecteur ainsi que des autres éléments composant la chaîne d’instrumentation. Même si le dépôt d’énergie associé à un photon s’avère parfois partiel, par exemple à cause de l’effet Compton, la distribution des énergies déposées reflète très étroitement celle des énergies transportées par les photons gamma. L’objectif de la spectrométrie gamma consiste alors à mesurer précisément cette dernière quantité ainsi que le nombre moyen de photons qui interagissent avec le détecteur dans un intervalle d’une seconde. Les réactions nucléaires générant les photons étant indépendantes, les interactions faisceau/détecteur sont modélisées par un processus de Poisson homogène d’intensité λ sur la droite réelle.
Le courant électrique mesuré par le détecteur correspond alors à un processus de Poisson filtré par la réponse impulsionnelle - supposée connue - et marqué multiplicativement par une amplitude aléatoire de distribution inconnue : en d’autres termes, un processus shot-noise.
Dans ce contexte, l'objectif consiste à retrouver la distribution des énergies photoniques à partir du courant électrique mesuré. Or, les techniques d’instrumentation nucléaire actuelles ne permettent pas de mesurer cette distribution lorsque l’intensité λ est suffisamment forte pour que les impulsions, de durée courte mais non nulle, s’empilent : ce phénomène est connu sous le nom d’empilement. Cette superposition de courants électriques empêche alors d’établir une correspondance bijective entre une impulsion et l’énergie déposée associée.
Cette thèse introduit de nouveaux estimateurs non-paramétriques de l’intensité et de la densité des marques d’un processus shot-noise à partir d’un nombre fini d’observations du processus échantillonné à basse fréquence. Les méthodes proposées utilisent une relation non linéaire reliant la fonction caractéristique de la loi marginale du processus à la densité des marques. Elles sont particulièrement rapides et possèdent l’avantage d’être efficaces mêmes pour des intensités élevées. Les performances de ces méthodes sont étudiées quantitativement et illustrées à la fois pour des données simulées et réelles provenant du CEA Saclay. En particulier, les estimateurs de la densité des marques permettent de corriger les artefacts de pics multiples.