A Study of Well-composedness in n-D.
Une étude du bien-composé en dimension n.
Résumé
Digitization of the real world using real sensors has many drawbacks; in particular, we loose ``well-composedness'' in the sense that two digitized objects can be connected or not depending on the connectivity we choose in the digital image, leading then to ambiguities. Furthermore, digitized images are arrays of numerical values, and then do not own any topology by nature, contrary to our usual modeling of the real world in mathematics and in physics. Loosing all these properties makes difficult the development of algorithms which are ``topologically correct'' in image processing: e.g., the computation of the tree of shapes needs the representation of a given image to be continuous and well-composed; in the contrary case, we can obtain abnormalities in the final result. Some well-composed continuous representations already exist, but they are not in the same time n-dimensional and self-dual. n-dimensionality is crucial since usual signals are more and more 3-dimensional (like 2D videos) or 4-dimensional (like 4D Computerized Tomography-scans), and self-duality is necessary when a same image can contain different objects with different contrasts. We developed then a new way to make images well-composed by interpolation in a self-dual way and in n-D; followed with a span-based immersion, this interpolation becomes a self-dual continuous well-composed representation of the initial n-D signal. This representation benefits from many strong topological properties: it verifies the intermediate value theorem, the boundaries of any threshold set of the representation are disjoint union of discrete surfaces, and so on
Le processus de discrétisation faisant inévitablement appel à des capteurs, et ceux-ci étant limités de par leur nature, de nombreux effets secondaires apparaissent alors lors de ce processus; en particulier, nous perdons la propriété d'être "bien-composé" dans le sens où deux objects discrétisés peuvent être connectés ou non en fonction de la connexité utilisée dans l'image discrète, ce qui peut amener à des ambigüités. De plus, les images discrétisées sont des tableaux de valeurs numériques, et donc ne possèdent pas de topologie par nature, contrairement à notre modélisation usuelle du monde en mathématiques et en physique. Perdre toutes ces propriétés rend difficile l'élaboration d'algorithmes topologiquement corrects en traitement d'images: par exemple, le calcul de l'arbre des formes nécessite que la representation d'une image donnée soit continue et bien-composée; dans le cas contraire, nous risquons d'obtenir des anomalies dans le résultat final. Quelques representations continues et bien-composées existent déjà, mais elles ne sont pas simultanément n-dimensionnelles et auto-duales. La n-dimensionalité est cruciale sachant que les signaux usuels sont de plus en plus tridimensionnels (comme les vidéos 2D) ou 4-dimensionnels (comme les CT-scans). L'auto-dualité est nécéssaire lorsqu'une même image contient des objets a contrastes divers. Nous avons donc développé une nouvelle façon de rendre les images bien-composées par interpolation de façon auto-duale et en n-D; suivie d'une immersion par l'opérateur span, cette interpolation devient une représentation auto-duale continue et bien-composée du signal initial n-D. Cette représentation bénéficie de plusieurs fortes propriétés topologiques: elle vérifie le théorème de la valeur intermédiaire, les contours de chaque coupe de la représentation sont déterminés par une union disjointe de surfaces discrète, et ainsi de suite
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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