Méthodes numériques pour la simulation d'équations aux dérivées partielles stochastiques non-linéaires en condensation de Bose-Einstein

Résumé : Cette thèse porte sur l'étude de méthodes numériques pour l'analyse de deux modèles stochastiques apparaissant dans le contexte de la condensation de Bose-Einstein. Ceux-ci constituent deux généralisations de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette équation aux dérivées partielles déterministe modélise la dynamique de la fonction d'onde d'un condensat de Bose-Einstein piégé par un potentiel extérieur confinant.Le premier modèle étudié permet de modéliser les fluctuations de l'intensité du potentiel confinant et prend la forme d'une équation aux dérivées partielles stochastiques. Celles-ci conduisent en pratique à un échauffement du condensat, et parfois mêmeà son effondrement. Nous proposons dans un premier chapitre la construction d'un schéma numérique pour la résolution de ce modèle. Il est fondé sur une discrétisation spectrale en espace, et une discrétisation temporelle de type Crank-Nicolson. Nous démontrons que le schéma proposé converge fortement en probabilité à l'ordre au moins 1 en temps, et nous présentons des simulations numériques illustrant ce résultat. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude théorique et numérique de la dynamique d'une solution stationnaire (pour l'équation déterministe) de type vortex. Nous étudions l'influence des perturbations aléatoires du potentiel sur la solution, et montrons que la solution perturbée garde les symétries de la solution stationnaire pour des temps au moins de l'ordre du carré de l'inverse de l'intensité des fluctuations. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques exploitant une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares.Le deuxième modèle permet de modéliser les effets de la température sur la dynamique d'un condensat. Lorsque celle-ci n'est pas nulle, la condensation n'est pas complète et le condensat interagit avec les particules non condensées. Ces interactions sont d'un grand intérêt pour comprendre la dynamique de transition de phase et analyser les phénomènes de brisure de symétrie associés, comme la formation spontanée de vortex. Nous nous sommes intéressés dans les chapitres 3 et 4 à des questions relatives à la simulation de la distribution des solutions de cette équation en temps long. Le troisième chapitre est consacré à la construction d'une méthode d’échantillonnage sans biais pour des mesures connues à une constante multiplicative près. C'est une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov qui a la particularité de permettre un échantillonnage non-réversible basé sur une équation de type Langevin sur-amortie. Elle constitue une extension de Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à l'étude numérique de dynamiques métastables liées à la nucléation de vortex dans des condensats en rotation. Un intégrateur numérique pour la dynamique étudiée est proposé, ainsi qu'une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares correspondant aux changements de configurations métastables. Cette dernière est basée sur l'algorithme Adaptive Multilevel Splitting (AMS).
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Thèse
Analyse numérique [cs.NA]. Université Paris-Saclay, 2017. Français. 〈NNT : 2017SACLX069〉
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Soumis le : mercredi 13 décembre 2017 - 16:43:07
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Romain Poncet. Méthodes numériques pour la simulation d'équations aux dérivées partielles stochastiques non-linéaires en condensation de Bose-Einstein. Analyse numérique [cs.NA]. Université Paris-Saclay, 2017. Français. 〈NNT : 2017SACLX069〉. 〈tel-01663064〉

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