M?thodes num?riques pour la simulation d'?quations aux d?riv?es partielles stochastiques non-lin?aires en condensation de Bose-Einstein

Résumé : Cette th?se porte sur l'?tude de m?thodes num?riques pour l'analyse de deux mod?les stochastiques apparaissant dans le contexte de la condensation de Bose-Einstein. Ceux-ci constituent deux g?n?ralisations de l'?quation de Gross-Pitaevskii. Cette ?quation aux d?riv?es partielles d?terministe mod?lise la dynamique de la fonction d'onde d'un condensat de Bose-Einstein pi?g? par un potentiel ext?rieur confinant.Le premier mod?le ?tudi? permet de mod?liser les fluctuations de l'intensit? du potentiel confinant et prend la forme d'une ?quation aux d?riv?es partielles stochastiques. Celles-ci conduisent en pratique ? un ?chauffement du condensat, et parfois m?me? son effondrement. Nous proposons dans un premier chapitre la construction d'un sch?ma num?rique pour la r?solution de ce mod?le. Il est fond? sur une discr?tisation spectrale en espace, et une discr?tisation temporelle de type Crank-Nicolson. Nous d?montrons que le sch?ma propos? converge fortement en probabilit? ? l'ordre au moins 1 en temps, et nous pr?sentons des simulations num?riques illustrant ce r?sultat. Le deuxi?me chapitre est consacr? ? l'?tude th?orique et num?rique de la dynamique d'une solution stationnaire (pour l'?quation d?terministe) de type vortex. Nous ?tudions l'influence des perturbations al?atoires du potentiel sur la solution, et montrons que la solution perturb?e garde les sym?tries de la solution stationnaire pour des temps au moins de l'ordre du carr? de l'inverse de l'intensit? des fluctuations. Ces r?sultats sont illustr?s par des simulations num?riques exploitant une m?thode de Monte-Carlo adapt?e ? la simulation d'?v?nements rares.Le deuxi?me mod?le permet de mod?liser les effets de la temp?rature sur la dynamique d'un condensat. Lorsque celle-ci n'est pas nulle, la condensation n'est pas compl?te et le condensat interagit avec les particules non condens?es. Ces interactions sont d'un grand int?r?t pour comprendre la dynamique de transition de phase et analyser les ph?nom?nes de brisure de sym?trie associ?s, comme la formation spontan?e de vortex. Nous nous sommes int?ress?s dans les chapitres 3 et 4 ? des questions relatives ? la simulation de la distribution des solutions de cette ?quation en temps long. Le troisi?me chapitre est consacr? ? la construction d'une m?thode d??chantillonnage sans biais pour des mesures connues ? une constante multiplicative pr?s. C'est une m?thode de Monte Carlo par cha?nes de Markov qui a la particularit? de permettre un ?chantillonnage non-r?versible bas? sur une ?quation de type Langevin sur-amortie. Elle constitue une extension de Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). Le quatri?me chapitre est quant ? lui consacr? ? l'?tude num?rique de dynamiques m?tastables li?es ? la nucl?ation de vortex dans des condensats en rotation. Un int?grateur num?rique pour la dynamique ?tudi?e est propos?, ainsi qu'une m?thode de Monte-Carlo adapt?e ? la simulation d'?v?nements rares correspondant aux changements de configurations m?tastables. Cette derni?re est bas?e sur l'algorithme Adaptive Multilevel Splitting (AMS).
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Thèse
Analyse numérique [cs.NA]. Université Paris-Saclay, 2017. Français. 〈NNT : 2017SACLX069〉
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Soumis le : mercredi 13 décembre 2017 - 16:43:07
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Romain Poncet. M?thodes num?riques pour la simulation d'?quations aux d?riv?es partielles stochastiques non-lin?aires en condensation de Bose-Einstein. Analyse numérique [cs.NA]. Université Paris-Saclay, 2017. Français. 〈NNT : 2017SACLX069〉. 〈tel-01663064〉

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