Middle convolution and Hodge theory

Convolution intermédiaire et théorie de Hodge

Nicolas Martin (1)

1 CMLS - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

This thesis consists of two independent parts.In a first part, we show that the Fourier-Mukai pair (X,Y) constructed from Pfaffian-Grassmannian double-mirror correspondence verifies the formula ([X]-[Y]) L^6=0 in the Grothendieck ring, where L is the class of affine line. This result is an improvement of a theorem of Borisov by removing a factor, which shows that the class of affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring, and gives moreover a first interesting example of D-equivalent varieties which are L-equivalent. Other examples have later been made explicit by other authors.In a second part, we are interested in the behaviour of invariants in Hodge theory by middle convolution, following research of Dettweiler and Sabbah. The main result concerns the behaviour of the nearby cycle local Hodge numerical data in infinity by middle additive convolution by a Kummer module. We also give expressions for local invariant h^p and global delta^p without making the hypothesis of scalar monodromy in infinity. Besides, with a relation due to Katz linking up additive and multiplicative convolutions, we explain the behaviour of Hodge invariants by middle multiplicative convolution. Finally, the main theorem gives a new proof of a result of Fedorov on Hodge invariants of hypergeometric equations.

Cette thèse est constituée de deux parties complètement indépendantes.Dans une première partie, nous montrons que la paire de Fourier-Mukai (X,Y) issue de la correspondance double miroir Pfaffienne-Grassmannienne vérifie l'identité ([X]-[Y])L^6=0 dans l'anneau de Grothendieck, où L est la classe de la droite affine. Ce résultat est un raffinement d'un théorème de Borisov par la suppression d'un facteur, qui montre que la classe de la droite affine est un diviseur de zéro dans l'anneau de Grothendieck, et fournit par ailleurs un premier exemple intéressant de variétés D-équivalentes qui sont L-équivalentes. D'autres exemples ont par la suite été explicités par d'autres auteurs.Dans une seconde partie, nous nous intéressons au comportement d'invariants de théorie de Hodge par convolution intermédiaire, à la suite des travaux de Dettweiler et Sabbah. Le principal résultat concerne le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l'infini par convolution intermédiaire additive par un module de Kummer. Nous donnons également des formules pour les invariants locaux h^p et globaux delta^p sans faire l'hypothèse de monodromie scalaire à l'infini. De plus, à l'aide d'une relation de Katz reliant les convolutions additives et multiplicatives, nous explicitons le comportement des invariants de Hodge par convolution intermédiaire multiplicative. Enfin, le théorème principal permet de redémontrer un résultat de Fedorov sur les invariants de Hodge d'équations hypergéométriques.

Mots clés: D-Modules; Hodge theory; Katz algorithm; Hypergeometric equation; Grothendieck ring; Birational geometry

Mots clés: D-Modules; Théorie de Hodge; Algorithme de Katz; Équation hypergéométrique; Anneau de Grothendieck; Géométrie birationnelle

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Nicolas Martin. Convolution intermédiaire et théorie de Hodge. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paris Saclay (COmUE), 2018. Français. ⟨NNT : 2018SACLX040⟩. ⟨tel-01892554⟩