,
, 198 7.2.4 Variation de déplacement induite par la fracturation
, 3.3 Variation de déplacement induite par la fracturation
, 206 7.4.2 Un modèle d'homogénéisation pour un coût anisotrope de propagation
,
, , p.210
,
, 1 Equations d'état de la thermo-poro-élasticité, p.292
, Positionnement du problème thermo-poro-élastique, p.292
, Théorème de Levin et première équation d'état, p.293
, Seconde et troisième équations d'état
, Énergie interne en conditions adiabatiques non-drainées, p.296
, Liste des figures 1.1 Représentation schématique des fissures en chevrons observées lors de l'excavation d'une galerie principale dans la direction de contrainte principale horizontale mineure (figure ANDRA issue de Armand et collab, 2012.
, Représentation schématique des fissures en chevrons observées lors de l'excavation d'une galerie principale dans la direction de contrainte principale horizontale majeure (figure ANDRA issue de Armand et collab, 2012.
, Exemple de fissure prenant naissance à partir d'un coin anguleux ouvert libre de contraintes
, Milieu infini sous pression isotrope avec un trou carré libre de contraintes, p.25
, Milieu infini sous un chargement déviateur de contraintes avec un trou carré libre de contraintes
, Griffith Figure 2.2 le long de l'axe des abscisses en fonction de la distance au fond de fissure x?a a
, Transformation de Joukowsky de l'extérieur du cercle unité (figure de gauche) avec R = 1 et pour m = 0.8 (figure centrale) ou m = 0.95 (figure de droite), p.30
, courbe noire) et pour différentes ellipses définies par la transformation de Joukowsky tendant asymptotiquement vers la fissure de Griffith, vol.30
, taille 2a (courbe noire) et pour une ellipse définie par la transformation de Joukowsky avec les paramètres m = 0.99 et R = a m+1 (courbe rouge)
, Modélisation géométrique de l'excavation d'un tunnel. L T est la longueur de tunnel déjà foré, L p la longueur de la passe et R est le rayon du tunnel. L'axe du tunnel e z correspond à l'une ou l'autre des directions associés aux contraintes principales horizontales
, Au niveau de la passe, les contraintes passent progressivement de leur valeur initiale à une valeur nulle par le biais du facteur ? décroissant de 1 à 0
, des composantes des tenseurs de contrainte singuliers en axisymétrique ? 1 et ? 2 associés à des singularité de degré ? 1 = ?0.4519 et ? 2 = ?0.0991 respectivement. Le matériau considéré est isotrope transverse défini par E 1 = 24.19 GPa, E 2 = 9
, Excavation du tunnel en conditions bidimensionnels avec présence éventuelle d'une fissure F de longueur l
, Problème auxiliaire permettant de se ramener à des bords libres, p.70
, Définition de la lèvre supérieure F + et inférieure F ? de la fissure ainsi que du contour extérieur ? ext
, Exemple d'un contour ? prenant appui sur les bords de la passe et entourant la fissure F
, Définition des zones intérieure, p.74
, Zoom sur la zone intérieure où grâce à l'usage de la variable d'espace adimensionnée Y , la fissure est de taille unitaire
, Propagation d'une fissure de Griffith dans son axe
, Convention permettant de préciser la notion de normale à un arc orienté, p.81
, Les flèches représentent ici le flux thermique et n est la normale extérieure, p.82
, Les flèches représentent ici le flux thermique et n est la normale extérieure
, des trois solutions sur le segment support ? = ? 2 pour la figure de gauche et ? = ? 6 pour la figure de droite, en fonction de la distance au coin r normalisée par c. Rouge : solution saine Vert : solution avec des fissures d'extension = 0.0053c Rose : solution avec des fissures d'extension = 0.059c Bleu : solution asymptotique Pointillés : intervalle correspondant à la zone de raccord L'intensité p du chargement a été prise égale au module d'Young E et le coefficient de poisson ? choisi égal à 0
, Courbes iso-G et iso-? r? obtenues pour e x .? p .e x = e y .? p .e y = 10 MPa et pour un niveau de chargement ? = 0.3. G et ? r? augmente à mesure que les courbes virent du rouge au bleu
, Application du double critère à la situation de l'excavation d'un tunnel dans la direction principale horizontale mineure avec ? h = ? v = 10 MPa et ? H = 12 MPa. Gauche : Fissures observées, Milieu : plan horizontal, Droite : plan vertical Courbe rouge : iso-? r? = ? c, vol.101
, Application du double critère à la situation de l'excavation d'un tunnel dans la direction principale horizontale majeure avec ? h = ? v = 10 MPa et ? H = 12 MPa. Gauche : Fissures observées, Milieu : plan horizontal, Droite : plan vertical Courbe rouge : iso-? r? = ? c, vol.102
, Représentation d'une fissure par une zone tridimensionnelle d'épaisseur, p.109
, Représentation d'une fissure par une zone tridimensionnelle d'épaisseur, p.110
, Problème d'homogénéisation du VER microfissuré en l'absence de précontrainte112
, Différents chemins permettant d'arriver à un état totalement endommagé, p.116
, , p.123
, Illustration d'un cas où G inc admet un maximum
, Problème du délaminage d'une poutre où représente la longueur sur laquelle la poutre a été délaminée
, Droite : définition de deux sous domaines ? 1 et ? 2 ayant ? pour frontière commune, Gauche : Structure saine ? 0 , ? 0 , Millieu : Structure bornée avec un défaut ? f , ? f , Droite : Structure équivalente infinie avec un
, Gauche : structure saine soumise à un chargement donné. Droite : structure avec deux fissures ouvertes symétriques d'extension pour le même chargement, Trou carré dans un milieu infini en déformations planes, p.141
, 152) pour une troncature de la série de Laurent à l'ordre N = 250 et pour des fissures de taille variables
, Schématisation du problème micromécanique correspondant à un milieu poreux saturé constitué d'une matrice solide thermoélastique et d'un fluide à la pression p
, , p.152
, Fissures sèches dans un milieu poreux
, Fissures sèches dans un milieu poreux
, 166 6.2 Arête commune entre un élément i et un élément j. Orientation de la tangente t et de la normale n à l'arête en fonction d'un sens de parcours, p.168
, Illustration d'une source de redondance parmi les équations
, Arc orienté et convention d'orientation de la normal
, Triangle élémentaire et orientation locale des arêtes
, Triangle squelette et décomposition en trois zones notées, p.177
, Exemple de triangles homothétiques centrés à l'origine. Le rapport d'homo
,
, Courbe rouge : borne supérieure issue du terme de droite dans l'inégalité (6.4), Encadrement du taux de restitution d'énergie incrémental pour une structure de taille globale 40 fois supérieur à la taille du trou carré. La quantité représente la taille la fissure nucléée normalisée par rapport à la taille du trou. Courbe bleu : borne inférieure issue du terme de gauche dans l'inégalité (6.4)
, Encadrement du taux de restitution d'énergie incrémental pour une structure de taille globale 60 fois supérieur à la taille du trou carré. La quantité représente la taille la fissure nucléée normalisée par rapport à la taille du trou, p.191
, Comparaison des différents encadrement pour des tailles de maillage différentes. Courbes bleues : bornes pour un maillage 40 fois supérieur à la taille du trou. Courbes rouges :bornes pour un maillage 60 fois supérieur à la taille du trou. Courbes vertes :bornes pour un maillage 80 fois supérieur à la taille du trou
, Comparaison des courbes de taux de restitution d'énergie obtenus par transformation conforme (courbe blue) et par analyse duale pour une structure de taille normalisée 80 (courbes rouges)
, Rappel des orientations des axes et des différentes notations, p.195
, Illustration du mécanisme de déformation ? 0 proposé dans le cas sain, p.196
, Représentation tridimensionnelle du faciès de fissuration proposé
,
, Mécanisme de fracturation traduisant la variation de déplacement induite par la fissure
, Taux de restitution d'énergie pour une situation axisymétrique en fonction de la hauteur du cône tronqué L F et de l'angle d'ouverture ?
, Faciès de fissuration observé par l'ANDRA lors de l'excavation d'un tunnel dans la direction de la contrainte principale horizontale mineure, p.201
, Représentation tridimensionnelle d'une surface reglée prenant appui sur un cercle et une ellipse
, 10 Paramètres permettant de définir une géométrie de fissure conique à base elliptique, vol.203
, Mécanisme de fracturation traduisant la variation de déplacement induite par la fissure
, Taux de restitution d'énergie pour une situation avec anisotropie de contraintes en fonction de la hauteur du cône tronqué L F , des différents paramètres de l'ellipse de base a et b. La distance au sommet est h = 0, p.205
, Représentation de la surface optimale pour l'anisotropie de contraintes, p.206
, Faciès de fissuration observé par l'ANDRA lors de l'excavation d'un tunnel dans la direction de la contrainte principale horizontale mineure, p.206
, Courbe rouge : approximation (7.28), 1 = 50g 2. Courbe noire : formulation exacte (7.27)
, Représentation géométrique d'une fissure en forme de cône à base construite à partir de branche de paraboles
, Paramètres permettant de définir une géométrie de fissure conique à base construite à partir de branche de paraboles
, Comparaison du taux de restitution d'énergie entre les situations avec G c isotrope et anisotrope en fonction de la hauteur du cône tronqué L F , de différentes valeurs du paramètre a. La distance au sommet est h = 1, p.211
, Représentation de la surface optimale pour l'anisotropie du matériau considérée211
, Une microstructure multicouches à trois matériaux
, , p.244
, Exemple d'un champ d'endommagement initialement C 1 devenant discontinu au cours d'un processus endommageant
, Exemple de mécanisme d'endommagement où la porosité dans une cellule de base donnée peut augmenter
, Exemple d'une portion hétérogène d'un barreau remplacée par une portion d'élasticité homogène
, Construction d'une variable d'endommagement constante par morceaux avec des intervalles fixés de longueur l
, Réponse de la structure pour des évolutions quasi-statiques avec p ? p min. N = 10, Q = ?0.2, Q ? = 1., g c = 1.. Courbe noire : état homogène. Courbe inférieure : p = 4 = p min
, Courbe supérieure : p = p min = 4. Courbe inférieure : p = 1 < p min. ? est l'état de contrainte associé avec le chargement ? d, Réponse de la structure pour des évolutions avec p < p min. N = 10, Q = ?0.2, Q ? = 1., g c = 1, p.256
, Upper curve : p = p min = 4. Lower curve : p = 1 < p min. ? * is the stress associated with u *, Macroscopic behavior for evolutions with p < p min. N = 10, Q = ?0.2, Q ? = 1., g c = 1
, Trou de forme carré chargé avec une pression isotrope dans un milieu libre de contraintes à l'infini
, Trou de forme carré chargé avec un déviateur de contraintes dans un milieu libre de contraintes à l'infini
, Schématisation du problème micromécanique correspondant à un milieu poreux saturé constitué d'une matrice solide thermoélastique et d'un fluide à la pression p
, Schématisation du problème micromécanique sans précontraintes associé au problème initial
, Liste des tableaux
, Liste des monômes de degré k pour un polynôme de deux variables x et y. . 172 6.2 Comparatif des différentes tailles des systèmes devant être inversés en fonction de la méthode considérée et du degré d'approximation
, Minorants et majorants du taux de restitution d'énergie pour le problème Figure 4.11 avec un domaine de taille D comportant un trou carré de côté a unitaire, pour une pression p égale au module d'Young (et prise unitaire) et un coefficient de poisson ? = 0.35
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