, est la composition segmentée I telle que Seg(I) = Seg(u) et telle que Des(u) soit égal à l'ensemble des positions des dernières occurrences des lettres de u, si elles ne sont pas suivies d'une barre. Le nombre d' inversions spéciales d'un mot tps u (noté sinv(u)) est égal au nombre d'inversions spéciales du mot tassé u obtenu en retirant les barres de u. Par exemple, pour u = 2135|2214, la composition des descentes est SDes(u) = 13|22, la composition des mots est WC(u) = 31|211 et il y a sinv(u) = 7 inversions spéciales. Noter que la contrainte sur la position des barres implique que le mot 2|21 n'est pas un mot tps car la barre n
, pour tout n et i < n, la i-ème ligne du n-ième triangle peut être divisée par (i+1)!. En effet, permuter les blocs délimités par les barres d'une permutation segmentée ne change ni le nombre de descentes ni le nombre de barres
, Ce résultat a été démontré par [ZZ18] en caractérisant les zéros réels des polynômes que nous définissons section 5.1.2. Nous avons aussi fait des conjectures d'unimodalité sur certaines diagonales de ces triangles et du triangle en figure 5.2 qui sont encore ouvertes aujourd'hui. De la même façon que pour les nombres T (n, k) et T (n, k), nous donnons une description récursive des nombres K(n, i, j) par rapport à n. Nous donnons également une récurrence, En observant ces suites de nombres expérimentalement, nous avons conjecturé que les lignes et les colonnes de ces triangles forment des suites unimodales
, K(n, i, j) = (i + j + 1)
, ? 1, i, j) + K(n ? 1, i ? 1, j)
, K(n ? 1, i ? 1, j ? 1) on a iK(n, i, j) = (n ? i ? j)K(n, i ? 1, j) + (j + 1)K(n, i ? 1
, Pour tous n, i, j, soit K(n, i, j) l'ensemble des permutations segmentées de taille n ayant i barres et j descentes
, Si on ajoute n au milieu d'une descente avec une barre à sa gauche ou en début de bloc avec une barre à sa droite ou à la fin de ? avec une barre à sa gauche, chaque permutation segmentée est utilisée i + j + 1 fois. De plus, on obtient exactement toutes les permutations de K(n, i, j) ayant n seul dans son bloc ou ayant n avec une barre uniquement à sa gauche et ses deux voisins en ordre décroissant. -Pour tout ? ? K(n ? 1, i, j ? 1). Si on ajoute n au début ou entre deux valeurs qui ne forment pas une descente et qui ne sont pas séparées par une barre, chaque permutation segmentée est utilisée (n ? i ? j) fois et on obtient exactement toutes les permutations de K(n, i, j), j ? 1) en ajoutant n dans les permutations segmentées de ces ensembles à différentes positions. -Pour tout ? ? K(n ? 1, i, j)
, Pour tout m ? 1, les nombres ? n (2, m) comptent le nombre d' arbres planaires enracinés linéairement étiquetés de niveau m + 2 à n feuilles
, Pour m = 2 et m = 3, ils correspondent aux suites A050351 et A050352 de, Pour m = 1, les arbres du dernier point de la proposition sont également appelés les listes de listes d'ensembles et en général il s'agit de m + 1 listes imbriquées d'ensembles
, 25)
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