Weak error analysis for time and particle discretizations of some stochastic differential equations non linear in the sense of McKean - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2020

Weak error analysis for time and particle discretizations of some stochastic differential equations non linear in the sense of McKean

Analyse de l'erreur faible de discrétisation en temps et en particules d'équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de McKean

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Abstract

This thesis is dedicated to the theoretical and numerical study of the weak error for time and particle discretizations of some Stochastic Differential Equations non linear in the sense of McK- ean. In the first part, we address the weak error analysis for the time discretization of standard SDEs. More specifically, we study the convergence in total variation of the Euler-Maruyama scheme applied to d-dimensional SDEs with additive noise and a measurable drift coefficient. We prove weak convergence with order 1/2 when assuming boundedness on the drift coefficient. By adding more regularity to the drift, namely the drift has a spatial divergence in the sense of distributions with ρ-th power integrable with respect to the Lebesgue measure in space uniformly in time for some ρ ≥ d, the order of convergence at the terminal time improves to 1 up to some logarithmic factor. In dimension d = 1, this result is pre- served when the spatial derivative of the drift is a measure in space with total mass bounded uniformly in time. In the second part of the thesis, we analyze the weak error for both time and particle discretizations of two classes of nonlinear SDEs in the sense of McKean. The first class consists in multi-dimensional SDEs with regular drift and diffusion coefficients in which the dependence in law intervenes through moments. The second class consists in one-dimensional SDEs with a constant diffusion coefficient and a singular drift coefficient where the dependence in law intervenes through the cumulative distribution function. We approximate the SDEs by the Euler-Maruyama schemes of the associated particle systems and obtain for both classes a weak order of convergence equal to 1 in time and particles. We also prove, for the second class, a trajectorial propagation of chaos result with optimal order 1/2 in particles as well as a strong order of convergence equal to 1 in time and 1/2 in particles. All our theoretical results are illustrated by numerical experiments.
Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de l’erreur faible de discrétisa- tion en temps et en particules d’Équations Différentielles Stochastiques non linéaires au sens de McKean. Nous abordons dans la première partie l’analyse de la vitesse faible de convergence de la discrétisation temporelle d’EDS standards. Plus spécifiquement, nous étudions la convergence en variation totale du schéma d’Euler-Maruyama appliqué à des EDS d-dimensionnelles avec un coefficient de dérive mesurable et un bruit additif. Nous obtenons, en supposant que le coefficient de dérive est borné, un ordre de convergence faible 1/2. En rajoutant plus de régularité sur la dérive, à savoir une divergence spatiale au sens des distributions Lρ-intégrable en espace uniformément en temps pour un certain ρ ≥ d, nous atteignons un ordre de convergence égal à 1 (à un facteur logarithmique près) au temps terminal. En dimension 1, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure en espace avec une masse totale bornée uniformément en temps. Dans la deuxième partie de la thèse, nous analysons l’erreur faible de discrétisation à la fois en temps et en particules de deux classes d’EDS non-linéaires au sens de McKean. La première classe consiste en des EDS multi-dimensionnelles avec des coefficients de dérive et de diffusion réguliers dans lesquels la dépendance en loi intervient au travers de moments. La deuxième classe, quant à elle, consiste en des EDS uni-dimensionnelles avec un coefficient de diffusion constant et un coefficient de dérive singulier où la dépendance en loi intervient au travers de la fonction de répartition. Nous approchons les EDS par les schémas d’Euler-Maruyama des systèmes de particules associés et nous obtenons pour les deux classes un ordre de convergence faible égal à 1 en temps et en particules. Dans la seconde classe, nous prouvons aussi un résultat de propagation du chaos d’ordre optimal 1/2 en particules ainsi qu’un ordre fort de convergence égal à 1 en temps et 1/2 en particules. Tous nos résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.
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Dates and versions

tel-03129956 , version 1 (03-02-2021)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03129956 , version 1

Cite

Oumaima Bencheikh. Weak error analysis for time and particle discretizations of some stochastic differential equations non linear in the sense of McKean. Mathematics [math]. Université Paris-Est Marne la vallée, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03129956⟩
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