On the stability of the Martingale Optimal Transport problem
Sur la stabilité du problème de transport optimal martingale
Résumé
This thesis is motivated by the study of the stability of the Martingale Optimal Transport problem, and is naturally structured around two parts. In the first part, we exhibit a new family of martingale couplings between two one-dimensional probability measures μ and ν in the convex order. This family contains in particular the inverse transform martingale coupling which is explicit in terms of the quantile functions of these marginal densities. The integral M_1(μ,ν) of |x-y| with respect to each of these couplings is smaller than or equal to twice the Wasserstein distance W_1(μ,ν) between μ and ν. We show that a similar inequality holds when replacing |x-y| and W_1 respectively with |x-y|^ρ and the product of W_ρ times the centered ρ-th moment of the second marginal to the power ρ-1, for any ρ∈[1,+∞). We then study the generalisation of this new stability inequality to higher dimensions. Last, we establish a strong connection between our new family of martingale couplings and the projection of a coupling between two given marginals in the convex order onto the set of martingale couplings between the same marginals. The latter projection is taken with respect to the adapted Wasserstein distance, which is greater than or equal to the usual Wasserstein distance and therefore induces a finer topology, which is more suitable to financial modelisation since it takes into account the temporal structure of martingales. In the second part, we prove that any martingale coupling whose marginals are approximated by probability measures in the convex order can be approximated by martingale couplings with respected to the adapted Wasserstein distance. We then discuss various applications of this result. In particular, we strengthen a stability result on the Optimal Weak Transport problem and establish a stability result on the Martingale Optimal Weak Transport problem. We deduce the stability with respect to the marginals of the superreplication price of VIX futures
Cette thèse est motivée par l'étude de la stabilité du problème de transport optimal martingale, et s'articule naturellement autour de deux parties. Dans la première partie, nous exhibons une nouvelle famille de couplages martingale entre deux mesures de probabilités unidimensionnelles μ et ν comparables dans l'ordre convexe. Cette famille contient en particulier le couplage martingale transformée inverse, qui est explicite en termes des fonctions quantiles des marginales. L'intégrale M_1(μ,ν) de |x-y| contre chacun de ces couplages est majorée par le double de la distance de Wasserstein W_1(μ,ν) entre μ et ν. Nous montrons une inégalité similaire lorsque |x-y| et W_1 sont respectivement remplacés par |x-y|^ρ et le produit de W_ρ par le moment centré d'ordre ρ de la seconde marginale élevé à l'exposant ρ-1, pour ρ∈[1,+∞[ quelconque. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à la dimension supérieure. Enfin, nous établissons une forte connexion entre notre nouvelle famille de couplages martingale et la projection d'un couplage entre deux marginales données comparables dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages martingale entre ces mêmes marginales. Cette dernière projection est prise par rapport à la distance de Wasserstein adaptée, qui majore la distance de Wasserstein usuelle et induit donc une topologie plus fine et mieux adaptée pour la modélisation financière, puisqu'elle prend en compte la structure temporelle des martingales. Dans la seconde partie, nous prouvons que tout couplage martingale dont les marginales sont approchées par des mesures de probabilité comparables dans l'ordre convexe peut être lui-même approché par des couplages martingale au sens de la distance de Wasserstein adaptée. Nous traitons ensuite d'applications variées de ce résultat. En particulier, nous renforçons un résultat de stabilité portant sur le problème de transport faible optimal et établissons un résultat de stabilité pour le problème de transport faible optimal martingale. Nous en déduisons la stabilité par rapport aux marginales du prix de sur-réplication de contrats à termes sur le VIX
Origine : Version validée par le jury (STAR)