Theoretical and numerical analysis of invariant measures of viscous stochastic scalar conservation laws
Analyse théorique et numérique de mesures invariantes de lois de conservation scalaires stochastiques visqueuses
Résumé
This devoted to the theoretical and numerical analysis of a certain class of stochastic partial differential equations (SPDEs), namely scalar conservation laws with viscosity and with a stochastic forcing which is an additive white noise in time. A particular case of interest is the stochastic Burgers equation, which is motivated by turbulence theory. We focus on the long time behaviour of the solutions of these equations through a study of the invariant measures. The theoretical part of the thesis constitutes the second chapter. In this chapter, we prove the existence and uniqueness of a solution in a strong sense. To this end, estimates on Sobolev norms up to the second order are established. In the second part of Chapter~2, we show that the solution of the SPDE admits a unique invariant measure. In the third chapter, we aim to approximate numerically this invariant measure. For this purpose, we introduce a numerical scheme whose spatial discretisation is of the finite volume type and whose temporal discretisation is a split-step backward Euler method. It is shown that this kind of scheme preserves some fundamental properties of the SPDE such as energy dissipation and L^1-contraction. Those properties ensure the existence and uniqueness of an invariant measure for the numerical scheme. Thanks to a few regularity estimates, we show that this discrete invariant measure converges, as the space and time steps tend to zero, towards the unique invariant measure for the SPDE in the sense of the second order Wasserstein distance. Finally, numerical experiments are performed on the Burgers equation in order to illustrate this convergence as well as some small-scale properties related to turbulence
Cette thèse se consacre à une analyse théorique puis numérique d'une certaine classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) : les lois de conservation scalaires avec viscosité et avec un forçage aléatoire de type additif et bruit blanc en temps. Un exemple typique est l'équation de Burgers stochastique, motivée par la théorie de la turbulence. On s'intéresse particulièrement au comportement en temps long des solutions de ces équations à travers une étude des mesures invariantes. La partie théorique de la thèse constitue le chapitre 2. Dans ce chapitre, on prouve l'existence et l'unicité d'une solution au sens fort. Pour cela, des estimations sur les normes de Sobolev jusqu'à l'ordre 2 sont établies. Dans la seconde partie du chapitre 2, on montre que la solution de l'EDPS admet une unique mesure invariante. On se propose dans le chapitre 3 d'approcher numériquement cette mesure invariante. À cette fin, on introduit un schéma numérique dont la discrétisation spatiale est de type Volumes Finis et dont la discrétisation temporelle est une méthode d'Euler semi-implicite. Il est montré que ce type de schéma respecte certaines propriétés fondamentales de l'EDPS telles que la dissipation d'énergie et la contraction L1. Ces propriétés assurent l'existence et l'unicité d'une mesure invariante pour le schéma. À l'aide d'un certain nombre d'estimations de régularité, on montre ensuite que cette mesure invariante discrète converge, lorsque le pas de temps et le pas d'espace tendent vers zéro, vers l'unique mesure invariante pour l'EDPS au sens de la distance de Wasserstein d'ordre 2. Enfin, des expériences numériques sont effectuées sur l'équation de Burgers pour illustrer cette convergence ainsi que des propriétés à petites échelles spatiale relatives à la turbulence
Origine : Version validée par le jury (STAR)