Study of approximations of optimal transport problems and application to physics
Étude d'approximations de problèmes de transport optimal et application à la physique
Résumé
Optimal Transport (OT) problems arise in numerous applications. Numerical approximation of these problems is a practical challenging issue. We investigate a relaxation of OT problems when marginal constraints are replaced by some moment constraints (MCOT problem), and show the convergence of the latter towards the former. Using Tchakaloff's theorem, we show that the MCOT problem is achieved by a finite discrete measure. For multimarginal OT problems, the number of points weighted by this measure scales linearly with the number of marginal laws, which allows to bypass the curse of dimension. This method is also relevant for Martingale OT problems. In some fundamental cases, we get rates of convergence in [dollar]O(1/n)[dollar] or [dollar]O(1/n^2)[dollar] where [dollar]n[dollar] is the number of moments, which illustrates the role of the moment functions.We design a numerical method, built upon constrained overdamped Langevin processes, to solve MCOT problems; and proved that any local minimizer to the MCOT problem is a global one. We provide numerical examples for large symmetrical multimarginal MCOT problems.We extend a method (E. Canc`es and L.R. Scott, SIAM J. Math. Anal., 50, 2018, 381--410) to compute more terms in the asymptotic expansion of the van der Waals attraction between two hydrogen atoms. These terms are obtained by solving a set of modified Slater--Kirkwood PDE's. The accuracy of the method is demonstrated by numerical simulations and comparison with other methods from the literature. We also show that the scattering states of the hydrogen atom (the ones associated with the continuous spectrum of the Hamiltonian) have a major contribution to the C[dollar]_6[dollar] coefficient of the van der Waals expansion.
Le transport optimal (TO) a de nombreuses applications; mais son approximation numérique est complexe en pratique. Nous étudions une relaxation du TO pour laquelle les contraintes marginales sont remplacées par des contraintes de moments (TOCM), et montrons la convergence de ce dernier vers le problème OT. Le théorème de Tchakaloff nous permet de montrer qu'un minimiseur du problème MCOT est une mesure discrète chargeant un nombre fini de points, qui, pour les problèmes multimarginaux, est linéaire en le nombre de marginales, ce qui permet de contourner le fléau de la dimension. Cette méthode est aussi adaptée aux problèmes de TO martingale. Dans certains cas fondamentaux, nous obtenons des vitesses de convergence en [dollar]O(1/n)[dollar] ou [dollar]O(1/n^2)[dollar], où [dollar]n[dollar] est le nombre de moments, ce qui illustre leur rôle. Nous présentons un algorithme, basé sur un processus de Langevin sur-amorti contraint, pour résoudre le problème TOCM; prouvons que tout minimiseur local du problème TOCM en est un minimiseur global; et l'illustrons sur des exemples de larges problèmes TOCM symétriques. Nous étendons une méthode (E. Cances et L.R. Scott, SIAM J. Math. Anal., 50, 2018, 381--410) pour calculer un nombre arbitraire de termes dans la série asymptotique de l'interaction de van der Waals entre deux atomes d'hydrogène. Ces termes sont obtenus en résolvant un ensemble d'EDP de Slater--Kirkwood modifiées. La précision de cette méthode est montrée par des exemples numériques et une comparaison avec d'autres méthodes issues de la littérature. Nous montrons aussi que les états de diffusion de l'atome d'hydrogène ont une contribution majeure au coefficient C[dollar]_6[dollar] de la série de van der Waals.
Origine : Version validée par le jury (STAR)