Cross-diffusion systems in moving-boundary domains
Systèmes à diffusion croisée dans des domaines à frontière mobile
Résumé
This thesis deals with the analysis, stabilization, and numerical approximation of systemsof PDEs with cross-diffusion in domains with moving boundaries. It is motivated by themodeling of a vapor deposition process for thin film synthesis. The original work isdivided into three parts.The first part focuses on the stabilization of a cross-diffusion system in an expandingone-dimensional domain. Assuming that we can control the boundary data, we constructa feedback law using the backstepping method that exponentially stabilizes the steadystates of the system.In the second part of the work, we study the same system coupled with Cahn-Hilliardterms in a fixed domain. We obtain results concerning the minimizers of the associateddegenerate Ginzburg-Landau energy and use the entropy method to study the long-timedynamics when diffusion dominates. We introduce a semi-implicit finite volume schemethat preserves the structure of the continuous system and present numerical results indimensions 1 and 2.The third part is dedicated to an extension of the previous one-dimensional model,where we couple two cross-diffusion systems through a mobile interface and a linearexchange law of Butler-Volmer type. We study the formal properties of the model,including its variational entropy structure and steady states. We then introduce a finitevolume scheme where the mesh is locally modified to follow the interface. We provideelements of analysis for the scheme and numerically illustrate the dynamics
Cette thèse traite de l’analyse, de la stabilisation et de l’approximation numérique de systèmes d’EDP à diffusion croisée dans des domaines à frontière mobile. Elle est motivée par la modélisation d’un processus de dépôt vapeur pour la synthèse de couches minces. Le travail original est divisé en trois parties. Un premier travail concerne la stabilisation d’un système à diffusion croisée dans un domaine unidimensionnel en expansion : considérant que l’on peut contrôler les données au bord du système, nous construisons via la méthode de backstepping une loi de rétro- action qui stabilise exponentiellement les états stationnaires du système. Nous étudions dans un second travail le même système couplé à des termes de Cahn-Hilliard dans un domaine fixe. Nous obtenons des résultats sur les minimiseurs de l’énergie de Ginzburg-Landau dégénérée associée et utilisons la méthode d’entropie pour étudier la dynamique en temps long quand la diffusion domine. Nous introduisons un schéma volumes finis semi-implicite qui préserve la structure du système continu et présentons des résultats numériques en dimensions 1 et 2.Un troisième travail est dédié à une extension du modèle unidimensionnel précédent, où nous couplons deux systèmes à diffusion croisée via une interface mobile et une loi d’échange linéaire de type Butler-Volmer. Nous étudions les propriétés formelles du modèle dont sa structure entropique variationnelle et ses états stationnaires. Nous introduisons ensuite un schéma volumes finis où le maillage est localement modifié pour suivre l’interface. Nous donnons des éléments d’analyse du schéma et illustrons numériquement la dynamique.
Origine : Version validée par le jury (STAR)