Maillages Homotopiques tétraèdriques des tissus de la tête pour le calcul du probleme direct en magnéto/electro-encephalographie
Résumé
L'électroencéphalographie (E.E.G.) et la magnétoencéphalographie (M.E.G.) permettent de mesurer à la surface de la tête des champs électromagnétiques résultant des activités neuronales du cerveau. La localisation des sources d'activités neuronales à partir des signaux mesurés à la surface de la tête nécessite de modéliser la propagation des champs électromagnétiques à l'intérieur des tissus de la tête. Cette modélisation consiste à résoudre les équations de Maxwell pour toutes les configurations de sources neuronales possibles par des techniques de calcul numérique (intégrale de surface, différence finies et éléments finis), qui nécessitent de disposer d'un maillage surfacique ou volumique des tissus et d'affecter à chaque élément du maillage une valeur de conductivité électrique du tissu correspondant. L'objectif de cette thèse est de construire des modèles réalistes des tissus de la tête sous forme de maillages tétraédriques adaptés aux méthodes d'éléments finis. Ces maillages tétraédriques sont construits à partir de données anatomiques individuelles obtenues en imagerie par résonance magnétique (I.R.M.). Nous montrons, tout d'abord, l'importance que revêt une modélisation volumique des tissus de la tête, en particulier pour la M.E.G. et l'E.E.G. Ainsi, nous mettons en évidence les contraintes géométriques et topologiques que doit respecter un maillage voumique pour la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G. à partir de la méthode des éléments finis. Dans ce cadre, nous proposons alors de développer une méthode de maillage volumique fondée sur une décomposition spatiale du domaine d'interêt suivie de transformations préservant la topologie. Dans les méthodes aux éléments finis, la qualité des tétraèdres influence la précision du calcul numérique. En effet, des tétraèdres avec un mauvais rapport de forme produisent des matrices mal conditionnées. Nous montrons qu'il est possible de construire des tétraédrisations presques régulières (T.P.R.) de l'espace où tous les tétraèdres sont identiques et ont des arêtes presque égales. Nous introduisons, ensuite, une caractérisation originale des déformations homotopiques d'un objet discret s'appuyant sur un maillage tétraédrique. Nous avons étendu la notion d'éléments simples par rapport aux trames discrètes classiques (pixels et voxels) des images numériques en appliquant des résultats issus de la théorie de l'homologie au cas des maillages tétraédriques. De nombreux outils locaux peuvent être utilisés à des fins d'adaptation de maillages tétraédriques. C'est pourquoi, nous présentons une adaptation fondée sur des modifications locales d'une T.P.R. et contrôlant la taille des arêtes. La dernière partie de ce manuscrit présente une méthode de maillage volumique des tissus de la tête s'appuyant sur les propriétés topologiques et géométriques que nous avons exposées précédemment. Ainsi, nous construisons d'abord une T.P.R. à partir d'une I.R.M. segmentée des tissus de la tête dont le nombre d'éléments est compatible avec le coût d'une F.E.M. puis nous effectuons un étiquetage homotopique du maillage où nous attribuons à chaque tétraèdre une étiquette optimale fonction de son contenu tissulaire et des contraintes topologiques. Une des originalités de notre méthode de maillage volumique réside dans la notion de région homotopiquement déformable qui permet d'injecter dans un maillage volumique des connaissances a priori topologiques sur les objets à mailler. Ces maillages permettent également de construire des maillages surfaciques adaptés aux méthodes d'intégrales de frontière sans risques d'intersection entre les surfaces de tissus proches. Des premiers tests effectués à la Pitié-Salpétrière ont d'ailleurs montré l'adéquation entre les maillages proposés et la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G.
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